Vertauschungsrelationen

Vertauschungsrelationen,

 

Vertauschungsregeln, im weiteren Sinn multilineare algebraische Gleichungen zwischen den Elementen einer freien Algebra (in der Produkte von Elementen, z. B. von bestimmten Operationen in unterschiedlicher Anordnung grundsätzlich verschieden sind), die eine »Struktur« definieren. In der Quantentheorie versteht man unter Vertauschungsrelationen im engeren Sinn Beziehungen zwischen je zwei Operatoren A und B, die angeben, was das Resultat der Vertauschung von deren Reihenfolge ist. Da die Multiplikation von Operatoren im Allgemeinen nicht kommutativ ist, gilt allgemein AB ≠ BA. Die Vertauschungsrelationen geben an, durch welche Ausdrücke der Kommutator [A, B]_— ≡ AB — BA beziehungsweise der Antikommutator [A, B]₊ ≡ AB + BA zu ersetzen ist. Die bekannteste Vertauschungsrelation ist der Kommutator [q, p] = ih̶ für eine Ortsvariable q und den dazu kanonisch konjugierten Impuls p (2πh̶ = h plancksches Wirkungsquantum, i = ). - In der Quantenfeldtheorie gelten für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a_i⁺ beziehungsweise a_i^- von Teilchen im Zustand »i« die Vertauschungsrelationen

 

für Fermionen (Antikommutatoren) beziehungsweise Bosonen (Kommutatoren; δ_{i j} ist das Kronecker-Symbol). Vertauschungsrelationen ergeben sich beim Übergang von klassischen Theorien zu den entsprechenden Quantentheorien. Sie stellen die Quantisierungsvorschriften für diese Theorien dar, bestimmen daher weitgehend deren algebraische Strukturen und führen zu Unschärferelationen.